Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando sus lados son semirrectas opuestas.

geo230 - ang op vert

Los ángulos \alpha y \beta son opuestos por el vértice.

Las semirrectas OA y OD son opuestas.
Las semirrectas OB y OC son opuestas.

Cuando dos rectas son secantes quedan formados dos pares de ángulos opuestos por el vértice.

geo232 - ang op vert

Vemos que los pares de ángulos opuestos por el vértice son:

α y γ

β y δ

Teorema:

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

geo231 - ang op vert

Demostración:

El ángulo α es adyacente al ángulo AOC yel ángulo β tanbién es adyacente a AOC.

Entonces podemos escribir:

\alpha + AOC=180^{o}

\beta + AOC=180^{o}

Luego:

\alpha + 180^{o}= \beta + 180^{o}

Por lo tanto:

\alpha = \beta

Todos los ángulos inscriptos que abarcan el mismo arco son congruentes.

geo225- teorema

Es claro que todos los ángulos abarcan el mismo arco, AB. El central correspondiente en todos los casos es AOB. Por lo tanto, todos los ángulos tienen una amplitud igual a la mitad de AOB y por lo tanto miden lo mismo.

Si ángulo inscripto abarca una semicircunferencia, entonces es recto.

geo220- teorema

Demostración:

Para la demostración debemos como teorema previo, el que dice que si un ángulo inscripto y un central abarcan el mismo arco, entonces el central es el doble del inscripto.

En nuestro caso:

El ángulo BAC es inscripto y abarca el arco BC (semicircunferencia), el ángulo BOC abarca el mismo arco y es un ángulo llano por ser un diámetro de la circunferencia.

Por lo tanto: el ángulo BAC debe ser la mitad de un ángulo llano, en consecuencia, es recto.

Observen que no importa donde se encuentra el punto A, además, es claro que si A coincide con B o con C, no se formaría un triángulo.

Trabajo de investigación de las propiedades de los ángulos inscriptos en una circunferencia, para realizar con un programa de geometrá como Geogebra o Cabri.

Extraído de Educabri

Los ángulos inscriptos en una circunferencia tienen muchas aplicaciones en geometría. En esta clase veremos qué es un ángulo inscipto en una circunferencia, sus propiedades y algunas de sus aplicaciones.

Actividades

1-1 Ángulo inscripto

  • Construí una circunferencia S con centro O y radio OR.
  • Marcá tres puntos A, B y C en la circunferencia (Point on object).
  • Creá los segmentos AB y BC. Marcá el ángulo ABC y medilo.
  • Mové el punto B por el arco AC, ¿Qué pasa con la medida del ángulo ABC?
  • Colocá ahora B del otro lado del arco AC.
  • ¿Qué pasó con la medida de ABC? ¿Qué relación encontrás entre las dos medidas?
    Sugerencia: mové los puntos A o C y armá una tablita con los pares de valores que vas obteniendo para distintas posiciones de A y C.
  • ¿Cuánto mide el ángulo ABC cuando AC es un diámetro de la circunferencia?
    El ángulo ABC se llama inscripto en la circunferencia S. Observamos que ABC es constante mientras B se mantenga en el mismo arco.

1-2 Ángulo central

  • En la figura anterior, creá los segmentos AO y OC. Marcá el ángulo AOC y medilo.
  • Qué relación hay entre la medida de ABC y la de AOC. De nuevo, te sugerimos que hagas una tablita con distintos pares de valores de ABC y AOC.
    El ángulo AOC se llama ángulo central. Observamos que AOC es el doble de ABC.

1-3 Ángulo inscripto en una semicircunferencia

  • ¿Cuánto mide AOC cuando AC es diámetro?
    En este caso, decimos que el ángulo ABC esta inscripto en una semicircunferencia.
  • Demostrá lo que observaste en el item 7 de la actividad 1-1.
    Sugerencia: usá la actividad 1-2.

Problemas

1. Demostrar las propiedades enunciadas en las actividades 1-1 y 1-2.

Sugerencia: observando los triángulos isósceles de la figura, demostrar primero que ABC mide la mitad de AOC. Deducir que ABC es constante.

Ahora podemos resolver con más generalidad:

2. ¿Qué propiedad deben cumplir los ángulos de un cuadrilátero para que exista una circunferencia circunscripta a él?

3. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Sea M el punto medio de BC. Probar que MA = MB = MC.

4. Sea S una circunferencia y P un punto exterior a ella. Construir las rectas tangentes a la circunferencia, que pasan por P.

Teorema:

Si un ángulo inscripto y un ángulo central, abarcan el mismo arco, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscripto.

geo210 - teorema

Demostración:

La demostración la vamos a dividir en tres partes.

1ra Parte: un lado del ángulo inscripto pasa por el centro C de la circunferencia.

geo211 - teorema

El triángulo OBC es isósceles: los lados CO y CB son congruentes por ser radios de la circunferencia.

Los ángulos COB y CBO son congruentes: por ser los ángulos opuestos a los lados congruentes del triángulos isósceles.

Si llamamos x al ángulo OCB tenemos que:

\alpha+\alpha+x=180^{o} Por ser los ángulos interiores del triánguo OCB.

\beta+x=180^{o} Por ser ángulos adyacentes.

Entonces tenemos que 2.\alpha y \beta son suplementos del ángulo x, por lo tanto son iguales.

Es decir: \beta=2.\alpha

2da Parte: el centro se encuentra dentro del ángulo inscripto.

geo212 - teorema

Para comenzar la demostración debemos trazar una semirrecta auxiliar.

geo214 - teorema

En el gráfico vemos que \beta=ACD+DCB

El ángulo ACD es un ángulo central que abarca el arco AD y su correspondiente inscripto es AOC. Por lo tanto: ACD=2.AOC

El ángulo DCB es un ángulo central que abarca el arco DB y su correspondiente inscripto es COB. Por lo tanto: DCB=2.COB

En consecuencia:

\beta=ACD+DCB=2.AOC+2.COB=2.(AOC+COB)=2.\alpha

Por lo tanto:

\beta=2.\alpha

3ra Parte: el centro se encuentra fuera del ángulo inscripto.

geo213 - teorema

Para comenzar la demostración debemos trazar una semirrecta auxiliar.

geo215 - teoremaEn el gráfico observamos:

\beta=ACB=DCB-DCA

El ángulo DCB es central y abarca el arco DB, su correspondiente inscripto es COB. Por lo tanto: DCB=2.COB

El ángulo DCA es central y abarca el arco DA, su correspondiente inscripot es COA. Por lo tanto: DCA=2.COA

En consecuencia:

\beta=ACB=DCB-DCA=

=2.COB-2.COA=2.(COB-COA)=2.\alpha

Por lo tanto:

\beta=2.\alpha

Un ángulo es central cuando el vértice del mismo coincide con el centro de una circunferencia.

geo200 - áng inscripto

Los puntos de intersección del ángulo \beta con la circunferencia forma el arco de extremos AB.

geo201 - áng inscripto

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