Todos los ángulos inscriptos que abarcan el mismo arco son congruentes.

geo225- teorema

Es claro que todos los ángulos abarcan el mismo arco, AB. El central correspondiente en todos los casos es AOB. Por lo tanto, todos los ángulos tienen una amplitud igual a la mitad de AOB y por lo tanto miden lo mismo.

Si ángulo inscripto abarca una semicircunferencia, entonces es recto.

geo220- teorema

Demostración:

Para la demostración debemos como teorema previo, el que dice que si un ángulo inscripto y un central abarcan el mismo arco, entonces el central es el doble del inscripto.

En nuestro caso:

El ángulo BAC es inscripto y abarca el arco BC (semicircunferencia), el ángulo BOC abarca el mismo arco y es un ángulo llano por ser un diámetro de la circunferencia.

Por lo tanto: el ángulo BAC debe ser la mitad de un ángulo llano, en consecuencia, es recto.

Observen que no importa donde se encuentra el punto A, además, es claro que si A coincide con B o con C, no se formaría un triángulo.

Teorema:

Si un ángulo inscripto y un ángulo central, abarcan el mismo arco, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscripto.

geo210 - teorema

Demostración:

La demostración la vamos a dividir en tres partes.

1ra Parte: un lado del ángulo inscripto pasa por el centro C de la circunferencia.

geo211 - teorema

El triángulo OBC es isósceles: los lados CO y CB son congruentes por ser radios de la circunferencia.

Los ángulos COB y CBO son congruentes: por ser los ángulos opuestos a los lados congruentes del triángulos isósceles.

Si llamamos x al ángulo OCB tenemos que:

\alpha+\alpha+x=180^{o} Por ser los ángulos interiores del triánguo OCB.

\beta+x=180^{o} Por ser ángulos adyacentes.

Entonces tenemos que 2.\alpha y \beta son suplementos del ángulo x, por lo tanto son iguales.

Es decir: \beta=2.\alpha

2da Parte: el centro se encuentra dentro del ángulo inscripto.

geo212 - teorema

Para comenzar la demostración debemos trazar una semirrecta auxiliar.

geo214 - teorema

En el gráfico vemos que \beta=ACD+DCB

El ángulo ACD es un ángulo central que abarca el arco AD y su correspondiente inscripto es AOC. Por lo tanto: ACD=2.AOC

El ángulo DCB es un ángulo central que abarca el arco DB y su correspondiente inscripto es COB. Por lo tanto: DCB=2.COB

En consecuencia:

\beta=ACD+DCB=2.AOC+2.COB=2.(AOC+COB)=2.\alpha

Por lo tanto:

\beta=2.\alpha

3ra Parte: el centro se encuentra fuera del ángulo inscripto.

geo213 - teorema

Para comenzar la demostración debemos trazar una semirrecta auxiliar.

geo215 - teoremaEn el gráfico observamos:

\beta=ACB=DCB-DCA

El ángulo DCB es central y abarca el arco DB, su correspondiente inscripto es COB. Por lo tanto: DCB=2.COB

El ángulo DCA es central y abarca el arco DA, su correspondiente inscripot es COA. Por lo tanto: DCA=2.COA

En consecuencia:

\beta=ACB=DCB-DCA=

=2.COB-2.COA=2.(COB-COA)=2.\alpha

Por lo tanto:

\beta=2.\alpha

Teorema: por una recta y por un punto que no pertenece a la misma, pasa un único plano.

Demostración: Recuerden que sólo podemos utilizar los conceptos y los axiomas vistos anteriormente para la demostración.

Paso 1: El enunciado del teorema tiene dos partes, en la primera nos dice con los conocimientos que contamos, nos enmarca la situación de la cual debemos partir (Hipótesis); la segunda parte del teorema nos da la conclusión o sea a lo que debemos llegar (Tesis).

Para este teorema en particular la hipótesis es que tenemos una recta y un punto que no está en la recta, ese debe ser nuestro punto de partida; la tesis nos indica que por esos dos objetos, en esas condiciones, pasa un único plano.

teorema

Paso 2: Tenemos una recta que llamaremos “r” y un punto fuera de ella que llamaremos “C”. Por el axioma 3 sabemos que r tiene infinitos puntos, a dos de esos puntos los llamaremos A y B. Lógicamente nos encontramos que tenemos tres puntos A, B y C que no estan alineados, pues C no está en la recta que pasa por A y B. Ahora podemos usar el axioma 7 que nos dice que por A, B y C pasa un único plano al cual llamaremos α.  Nos queda utilizar el axioma 8 el cual nos asegura que la recta r, que contiene a los puntos A y B, también pertenece al plano  α.

Conclusión: la recta r y el punto C pertenecen a un único plano que llamamos α.