Investigación


Habíamos dicho que las rectas

r: -2x +5y -11

r1: -6x+15-33

tenían el mismo gráfico en su representación en el plano cartesiano.

Las sumas de ambas con la recta s, ¿tendrán la misma representación?

Llamemos:

t=r+s

u=r1+s

Obtenemos:

t: -x+4y-13

u: -5x+14y-35

Sus representaciones serán:

inter3

Las representaciones de t (en rojo) y de u (en azul) son distintas, obviamente.

Por lo tanto, es necesario, considerar, como distintas a las rectas r y r1, por más que tengan la misma representación en el plano.

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Trabajaremos en un plano euclideano y en él consideraremos un sistema de ejes cartesianos.

Llamemos punto al par ordenado, los notaremos con letras en imprenta mayúsculas.

(x,y)

Llamemos recta a la expresión, las notaremos con letras en imprenta minúsculas.

ax+by+c

En un plano cartesiano la recta está representado por los puntos (x,y) que satisfacen la ecuación:

ax+by+c=0

Ejemplo: representemos la recta r dado por

-2x+5y-11

recta

Queda claro que los puntos A(-3,1) y B(2,3) pertenecen a la recta, dado que:

-2.(-3)+5.(1)-11=0

-2.(2)+5.(3)-11=0

La representación gráfica de la recta “r” es única, pero dicha representación puede tener varias rectas, por ejemplo:

-6x+15y-33

Más adelante veremos si nos conviene llamar a dichas rectas equivalentes o se consideraran diferentes.

Consideremos las rectas

r: -2x+5y-11

s: x-y-2

Para encontrar el punto de intersección de la rectas, si existe, debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

2x+5y-11=0
x-y-2=0

Usando cualquier método de resolución de ecuaciones lineales obtenemos que las cordenadas del punto de intersección de las rectas r y s son:

(7,5)

En el gráfico podemos ver el punto que lo llamamos P.

inter

Si consideramos la recta -6x+15y-33 el punto de intersección no cambia. (en este caso podrían considerarse equivalentes)

Veamos que sucede si sumamos las dos rectas:

r: -2x+5y-11

s: x-y-2

t=r+s

t: -x+4y-13

¿Qué tiene de particular ésta recta con r y s?

inter2

Tienen el mismo punto de intersección!!!