Geometria Analítica


1) Escriban la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que:

a) pasa por el punto (-4,3) y tiene como dirección al vector (5,-2)

b) pasa or el punto (-1,7) y tiene como dirección al vector (2,0)

c) pasa por los puntos (4,1) y (-2,2)

2) Grafiquen en un sistema coordenados las rectas anteriores.

3) ¿Cuáles son las pendientes de las rectas del punto 1?

4) Grafiquen la recta dada por la ecuación

\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}

¿Cuáles son los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados?

5) Hallen las ecuación general y la ecuación paramétrica de la recta del gráfico.

ecuac vect02

Dejen ideas y sugerencias de resolución en los comentarios.

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Si en la forma paramétrica despejamos t en ambas ecuaciones obtenemos:

t=\frac{x-2}{3}

t=\frac{y-3}{1}

igualando las expresiones nos queda la ecuación continua de la recta:

\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{1}

En la ecuación continua desaparece el parámetro t y queda una única ecuación.

En forma general podemos escribrir la ecuación continua de la siguiente manera:

\frac{x-c}{u}=\frac{y-d}{v}

donde (c,d) son las coordenadas de un punto en la recta y (u,v) son las componentes de un vector sobre la recta.

Ejercitación:

A partir del siguiente gráfico obtengan la ecuación continua de la recta que pasa por los punto A y B.

ecuacion continua

A partir de la ecuación vectorial de una recta:

(x,y)=(c,d)+t.(u,v)

(x,y)=(c,d)+(t.u,t.v)

(x,y)=(c+t.u,d+t.v)

De donde obtenemos las siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones parámetricas de la recta.

x=c+t.u

y=d+t.v

en las cuales las coordenadas x,y dependen de un mismo parámetro t.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Siguiendo con el ejemplo dado en la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas de la recta r serán:

x=2+3t

y=3+1t

observemos que los términos de las ecuaciones corresponden al punto (2,3) y que los coeficientes del parámetro t corresponden a las componentes del vector (u,v).

Supongamos que tenemos una recta r que pasa por el punto O=(2,3) y que tiene una dirección dada por el vector v de componentes (3,1).

ecuac vect01

Las coordenadas del un punto P de coordenadas (x,y) perteneciente a la recta, pueden obtenerse a partir de:

\overrightarrow{OP}=t.\overrightarrow{v}

Recuerden que las componentes de un vector OP pueden obtenerse restando las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen P – A.

\overrightarrow{OP}=t.\overrightarrow{OA}

P-O=t.(A-O)

Haciendo un pasaje de términos.

P=O+t.(3,1)

P=(2,3)+t.(3,1)

(x,y)=(2,3)+t.(3,1)

Si generalizamos:

P=(x,y)

A=(c,d)

\overrightarrow{v}=(u,v)

Nos queda:

Ecuación vectorial de la recta: \bold{(x,y)=(c,d)+t.(u,v)}

donde (x,y) son las coordenadas de un punto cualquiera de la recta.

(c,d) son las coordenadas de un punto conocido de la recta.

t es un parámetro, puede tomar cualquier real.

(u,v) son las componentes de un vector sobre la recta.

a) Representen en un plano cartesiano los puntos A = (-2, 5) y B = (1, -4).

b) Encuentren la distancia entre A y B.

c) Encuentren la pendiente del segmento AB.

d) Encuentren las coordenadas del punto medio del segmento AB.

e) Encuentren las coordenadas de un punto C de tal manera que el triángulo ABC sea equilátero.

Solución en pdf – realizado en Maple 13

Solución en .mw – realizado en Maple 13

a) Puntos A y B

puntos

b) Distancia entre A y B.

d(A,B)=\sqrt{(-2-1)^2+(5-(-4))^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}

c) Pendiente del segmento AB.

\frac{5-(-4)}{-2-1}=\frac{9}{-3}={-3}

d) Punto medio de AB.

M=(\frac{-2+1}{2},\frac{5-4}{2})=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})

e) Coordenadas del punto C

Circunferencia con centro en A que pasa por B.

C_A=(x+2)^2+(y-5)^2=90

Circunferencia con centro en B que pasa por A.

C_B=(x-1)^2+(y+4)^2=90

Mediatriz del segmento AB.

C_A=C_B

6x-18y+12=0

x-3y+2=0

Despejamos x

x=3y-2

Sustituyendo x en la ecuación de la circunferencia con centro en A.

10y^2-10y-65=0

2y^2-2y-13=0

Aplicando la fórmula resolvente.

y_1=3,1

y_1=-2,1

Reemplazando estos valores en x.

x_1=7,3

x_2=-8,3

Los puntos buscados son dos.

C_1=(7,3;3,1)

C_2=(-8,3;-2,1)

triang equil

Ejercicio

Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y C(1, 7).
a. Localizar los puntos medios de los lados.
b. Localizar el punto de intersección de las medianas.
c. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de cualquier par de lados es
paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud.

Resolución en .pdf (Acrobat Reader)

Resolución en .mw (Maple 13)

Resolución en .ggb (Geogebra)

medianas ejer

GeoGebra es un software libre y de plataformas múltiples que se abre a la eduación para interactuar dinámicamente con la matemática.

GeoGebra permite interactuar dinámicamente con la matemática, en un ámbito en que se reúnen las Geometría, el Algebra y el Análisis o Cálculo.

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¿Qué es GeoGebra?

GeoGebra es un software de matemática para educación en escuela media (secundaria) que reúne dinámicamente, geometria, álgebra y cálculo.

Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente.

Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así, GeoGebra tiene la potencia de manejar con variables vinculadas a números, vectores y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos singulares de una función, como Raíces o Extremos.

Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa.

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