Trabajo de investigación de las propiedades de los ángulos inscriptos en una circunferencia, para realizar con un programa de geometrá como Geogebra o Cabri.

Extraído de Educabri

Los ángulos inscriptos en una circunferencia tienen muchas aplicaciones en geometría. En esta clase veremos qué es un ángulo inscipto en una circunferencia, sus propiedades y algunas de sus aplicaciones.

Actividades

1-1 Ángulo inscripto

  • Construí una circunferencia S con centro O y radio OR.
  • Marcá tres puntos A, B y C en la circunferencia (Point on object).
  • Creá los segmentos AB y BC. Marcá el ángulo ABC y medilo.
  • Mové el punto B por el arco AC, ¿Qué pasa con la medida del ángulo ABC?
  • Colocá ahora B del otro lado del arco AC.
  • ¿Qué pasó con la medida de ABC? ¿Qué relación encontrás entre las dos medidas?
    Sugerencia: mové los puntos A o C y armá una tablita con los pares de valores que vas obteniendo para distintas posiciones de A y C.
  • ¿Cuánto mide el ángulo ABC cuando AC es un diámetro de la circunferencia?
    El ángulo ABC se llama inscripto en la circunferencia S. Observamos que ABC es constante mientras B se mantenga en el mismo arco.

1-2 Ángulo central

  • En la figura anterior, creá los segmentos AO y OC. Marcá el ángulo AOC y medilo.
  • Qué relación hay entre la medida de ABC y la de AOC. De nuevo, te sugerimos que hagas una tablita con distintos pares de valores de ABC y AOC.
    El ángulo AOC se llama ángulo central. Observamos que AOC es el doble de ABC.

1-3 Ángulo inscripto en una semicircunferencia

  • ¿Cuánto mide AOC cuando AC es diámetro?
    En este caso, decimos que el ángulo ABC esta inscripto en una semicircunferencia.
  • Demostrá lo que observaste en el item 7 de la actividad 1-1.
    Sugerencia: usá la actividad 1-2.

Problemas

1. Demostrar las propiedades enunciadas en las actividades 1-1 y 1-2.

Sugerencia: observando los triángulos isósceles de la figura, demostrar primero que ABC mide la mitad de AOC. Deducir que ABC es constante.

Ahora podemos resolver con más generalidad:

2. ¿Qué propiedad deben cumplir los ángulos de un cuadrilátero para que exista una circunferencia circunscripta a él?

3. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Sea M el punto medio de BC. Probar que MA = MB = MC.

4. Sea S una circunferencia y P un punto exterior a ella. Construir las rectas tangentes a la circunferencia, que pasan por P.

Teorema:

Si un ángulo inscripto y un ángulo central, abarcan el mismo arco, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscripto.

geo210 - teorema

Demostración:

La demostración la vamos a dividir en tres partes.

1ra Parte: un lado del ángulo inscripto pasa por el centro C de la circunferencia.

geo211 - teorema

El triángulo OBC es isósceles: los lados CO y CB son congruentes por ser radios de la circunferencia.

Los ángulos COB y CBO son congruentes: por ser los ángulos opuestos a los lados congruentes del triángulos isósceles.

Si llamamos x al ángulo OCB tenemos que:

\alpha+\alpha+x=180^{o} Por ser los ángulos interiores del triánguo OCB.

\beta+x=180^{o} Por ser ángulos adyacentes.

Entonces tenemos que 2.\alpha y \beta son suplementos del ángulo x, por lo tanto son iguales.

Es decir: \beta=2.\alpha

2da Parte: el centro se encuentra dentro del ángulo inscripto.

geo212 - teorema

Para comenzar la demostración debemos trazar una semirrecta auxiliar.

geo214 - teorema

En el gráfico vemos que \beta=ACD+DCB

El ángulo ACD es un ángulo central que abarca el arco AD y su correspondiente inscripto es AOC. Por lo tanto: ACD=2.AOC

El ángulo DCB es un ángulo central que abarca el arco DB y su correspondiente inscripto es COB. Por lo tanto: DCB=2.COB

En consecuencia:

\beta=ACD+DCB=2.AOC+2.COB=2.(AOC+COB)=2.\alpha

Por lo tanto:

\beta=2.\alpha

3ra Parte: el centro se encuentra fuera del ángulo inscripto.

geo213 - teorema

Para comenzar la demostración debemos trazar una semirrecta auxiliar.

geo215 - teoremaEn el gráfico observamos:

\beta=ACB=DCB-DCA

El ángulo DCB es central y abarca el arco DB, su correspondiente inscripto es COB. Por lo tanto: DCB=2.COB

El ángulo DCA es central y abarca el arco DA, su correspondiente inscripot es COA. Por lo tanto: DCA=2.COA

En consecuencia:

\beta=ACB=DCB-DCA=

=2.COB-2.COA=2.(COB-COA)=2.\alpha

Por lo tanto:

\beta=2.\alpha