Un ángulo es incripto a una circunferencia cuando su vértice pertenece a la circunferencia y sus lados son secantes a la misma.

geo200 - áng inscriptoLos lados son secantes a la circunferencia porque tienen dos puntos de intersección.

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Habíamos dicho que las rectas

r: -2x +5y -11

r1: -6x+15-33

tenían el mismo gráfico en su representación en el plano cartesiano.

Las sumas de ambas con la recta s, ¿tendrán la misma representación?

Llamemos:

t=r+s

u=r1+s

Obtenemos:

t: -x+4y-13

u: -5x+14y-35

Sus representaciones serán:

inter3

Las representaciones de t (en rojo) y de u (en azul) son distintas, obviamente.

Por lo tanto, es necesario, considerar, como distintas a las rectas r y r1, por más que tengan la misma representación en el plano.

Si dos rectas tienen un punto en común se llaman secantes.

Las rectas secantes se clasifican en oblicuas y perpendiculares.

Rectas Oblicuas

Si dos rectas tienen un punto de intersección, y forman ángulos no todos iguales, las rectas se llaman oblicuas.

geometria 090 - rectas oblicuas

Rectas Perpendiculares

Si dos rectas tienen un punto de intersección, y forman cuatro ángulos iguales, las rectas se llaman perpendiculares y los ángulos se llaman rectos.

geometria 090 - rectas perpendiculares

1) Escriban la ecuación vectorial, paramétrica y continua de la recta que:

a) pasa por el punto (-4,3) y tiene como dirección al vector (5,-2)

b) pasa or el punto (-1,7) y tiene como dirección al vector (2,0)

c) pasa por los puntos (4,1) y (-2,2)

2) Grafiquen en un sistema coordenados las rectas anteriores.

3) ¿Cuáles son las pendientes de las rectas del punto 1?

4) Grafiquen la recta dada por la ecuación

\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{-2}

¿Cuáles son los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados?

5) Hallen las ecuación general y la ecuación paramétrica de la recta del gráfico.

ecuac vect02

Dejen ideas y sugerencias de resolución en los comentarios.

En La República, Platón combina de forma maravillosa el concepto de postulado con su idea del mundo de las formas matemáticas:

“Creo que sabes que quienes se ocupan de geometría, aritmética y otros estudios similares dan por supuestos los números impares y pares, las figuras, tres clases de ángulos y otras cosas emparentadas con éstas y distintas en cada caso; las adoptan como hipótesis, procediendo igual que si las conocieran, y no se creen ya en el deber de dar ninguna explicación ni a sí mismos ni a los demás con respecto a lo que consideran como evidente para todos, y de ahí es de donde parten las sucesivas y consecuentes deducciones que le llevan finalmente a aquello cuya investigación se proponían.
¿Y no sabes también que se sirven de figuras visibles acerca de las cuales discurren, pero no pensando en ellas mismas, sino en aquello a que ellas se parecen, discurriendo, por ejemplo, acerca del cuadrado en sí y de su diagonal, pero no acerca del que ellos dibujan, e igualmente en los demás casos: y que así, las cosas modeladas y trazadas por ellos, de que son imágenes las sombras y reflejos producidos en el agua, las emplean, de modo que sean a su vez imágenes, en sus deseo de ver aquellas cosas en sí que no pueden ser vistas de otra manera sino por medio del pensamiento?”

platón

Extraído de ¿Es Dios un matemático? de Mario Livio, página 35.

Si en la forma paramétrica despejamos t en ambas ecuaciones obtenemos:

t=\frac{x-2}{3}

t=\frac{y-3}{1}

igualando las expresiones nos queda la ecuación continua de la recta:

\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{1}

En la ecuación continua desaparece el parámetro t y queda una única ecuación.

En forma general podemos escribrir la ecuación continua de la siguiente manera:

\frac{x-c}{u}=\frac{y-d}{v}

donde (c,d) son las coordenadas de un punto en la recta y (u,v) son las componentes de un vector sobre la recta.

Ejercitación:

A partir del siguiente gráfico obtengan la ecuación continua de la recta que pasa por los punto A y B.

ecuacion continua

A partir de la ecuación vectorial de una recta:

(x,y)=(c,d)+t.(u,v)

(x,y)=(c,d)+(t.u,t.v)

(x,y)=(c+t.u,d+t.v)

De donde obtenemos las siguientes ecuaciones, llamadas ecuaciones parámetricas de la recta.

x=c+t.u

y=d+t.v

en las cuales las coordenadas x,y dependen de un mismo parámetro t.

-.-.-.-.-.-.-.-.-.-

Siguiendo con el ejemplo dado en la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas de la recta r serán:

x=2+3t

y=3+1t

observemos que los términos de las ecuaciones corresponden al punto (2,3) y que los coeficientes del parámetro t corresponden a las componentes del vector (u,v).