Teorema:

Si un ángulo inscripto y un ángulo central, abarcan el mismo arco, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscripto.

geo210 - teorema

Demostración:

La demostración la vamos a dividir en tres partes.

1ra Parte: un lado del ángulo inscripto pasa por el centro C de la circunferencia.

geo211 - teorema

El triángulo OBC es isósceles: los lados CO y CB son congruentes por ser radios de la circunferencia.

Los ángulos COB y CBO son congruentes: por ser los ángulos opuestos a los lados congruentes del triángulos isósceles.

Si llamamos x al ángulo OCB tenemos que:

\alpha+\alpha+x=180^{o} Por ser los ángulos interiores del triánguo OCB.

\beta+x=180^{o} Por ser ángulos adyacentes.

Entonces tenemos que 2.\alpha y \beta son suplementos del ángulo x, por lo tanto son iguales.

Es decir: \beta=2.\alpha

2da Parte: el centro se encuentra dentro del ángulo inscripto.

geo212 - teorema

Para comenzar la demostración debemos trazar una semirrecta auxiliar.

geo214 - teorema

En el gráfico vemos que \beta=ACD+DCB

El ángulo ACD es un ángulo central que abarca el arco AD y su correspondiente inscripto es AOC. Por lo tanto: ACD=2.AOC

El ángulo DCB es un ángulo central que abarca el arco DB y su correspondiente inscripto es COB. Por lo tanto: DCB=2.COB

En consecuencia:

\beta=ACD+DCB=2.AOC+2.COB=2.(AOC+COB)=2.\alpha

Por lo tanto:

\beta=2.\alpha

3ra Parte: el centro se encuentra fuera del ángulo inscripto.

geo213 - teorema

Para comenzar la demostración debemos trazar una semirrecta auxiliar.

geo215 - teoremaEn el gráfico observamos:

\beta=ACB=DCB-DCA

El ángulo DCB es central y abarca el arco DB, su correspondiente inscripto es COB. Por lo tanto: DCB=2.COB

El ángulo DCA es central y abarca el arco DA, su correspondiente inscripot es COA. Por lo tanto: DCA=2.COA

En consecuencia:

\beta=ACB=DCB-DCA=

=2.COB-2.COA=2.(COB-COA)=2.\alpha

Por lo tanto:

\beta=2.\alpha