Divisibilidad


Para armar ofertas de golosinas, donHéctor cuenta con 60 chupetines, 75 galletitas con chocolate y 120 caramelos. Quiere armar bolsitas iguales que contengan el mayor número posible de cada cosa.
¿Cómo pueden averiguar las cantidades?¿Cuántas bolsitas se pueden armar?

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El múltiplo común menor de dos o más números, es el menor de los múltiplos que tienen en común dichos números.

Ejemplo: mcm ( 5, 4, 6)
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, …
Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, …
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 56, 60, 66, …

mcm (4, 5, 6) = 60

Cálculo con la factorización

4 = 2.2
5 = 5
6 = 2.3

Recuerden que el múltiplo de un número se obtiene multiplicando a ese número por cualquier otro. Con esa consideración buscamos la factorización del mcm poniendo los factores de todos los números en cuestión, utilizando la menor cantidad de factores posibles.

Empezamos a armar la factorización del mcm poniendo los factores del 4.

mcm = 2.2

Luego tenemos que tener en cuenta la factorización del 5.

mcm =2.2.5

Por último agregamos la factorización del 6. Como la factorización de 6 es 2.3 y en la factorización del mcm ya tenemos 2.2.5, entonces sólo agregaremos un 3 en la misma.

mcm = 2.2.3.5=60

El máximo común divisor entres dos o más números es el mayor de los divisores comunes a dichos números.

Ejemplo: Cálculo del mcd ( 24, 36).

Haciendo una lista de divisores

Divisores de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Los divisores comunes son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, pero el mayor de ellos es 12. Por lo tanto mcd ( 24, 36) = 12.

Con la factorización

Factorizamos los números 24 y 36.

24 = 2.2.2.3
36 = 2.2.3.3

El producto que usaremos para encontrar el mcd será 2.2.3 = 12, por lo tanto mcd ( 24, 36) = 2.2.3 = 12

¿Por qué no va un 2 o un 3 más en el producto para el cálculo del mcd ?

Si en el producto tuvieramos 2.2.2 eso significaría que 8, que es igual a 2.2.2,  es divisor de ambos números, pero eso es falso, ya que 8 es divisor de 24 y no de 36. También se nota en la factorización de los números que 2.2.2 sólo divide a 24.

Con el algoritmo de Euclides

Para comenzar a usar el algoritmo de Euclides debemos realizar una división entera entre 24 y 36.

36 / 24 = 1 con resto 12

Como el resto de la división no es 12 debemos seguir dividiendo, pero ahora lo hacemos con 24 y el resto que obtuvimos.

24 / 12 = 2 con resto 0

Como el resto es o, terminó el algoritmo y el mcd es el divisor de la última división, o sea 12. Por lo tanto, mcd ( 24, 36) = 12.

Una división es entera cuando el cociente y el resto de la misma son números enteros.

Ejemplo:   13 : 2 = 6 con resto 1
Dividendo -> 13
Divisor -> 2
Cociente -> 6
Resto -> 1

Además:
13 = 2 . 6 + 1
D = d . c + r

En toda división entera el resto es mayor o igual que cero y menor que el divisor.
0 ≤ r < d

Una división entera es exacta cuando el resto de la división es cero.

Ejemplo:    21 : 3 = 7 con resto 0
Además 21 =  3 . 7

Criterio del 2

Un número es divisible por 2 si es par.

Ejemplo: 2, 56, 128, 320 son divisibles (múltiplos) por 2.

Criterio del 3

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Ejemplo: 252 es múltiplo de 3 dado que 2 + 5 + 2 = 9 y 9 es múltiplo de 3.

Criterio de 4

Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son múltiplo de 4.

Ejemplo: 12.348 es múltiplo de 4, porque 48 es múltiplo de 4.

Criterio del 5

Un número es divisible por 5 si termina en cero o en cinco.

Ejemplo: 34.565 y 7.430 son múltiplos de 5.

Criterio del 6

Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y es divisible por 3.

Ejemplo: 342 es múltiplo de 6, porque es par y la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (3 + 4 + 2 = 9).

Criterio del 9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.

Ejemplo: 783 es múltiplo de 9, porque la suma de sus cifras es un múltiplo de 9 (7 + 8 + 3 = 18).

Criterio del 10

Un número es divisible por 10 cuando termina en cero.

Ejemplo: 340 y 1200 son múltiplos de 10 porque terminan en cero.

¿Cuándo un número natural es divisor de otro número natural?
Un número natural, supongamos 8 es divisor de otro número natural, que puede
ser 24, cuando es posible encontrar un número natural que multiplicado por 8 de
24, ese otro número es 3 .
Resumiendo: 8 es divisor de 24 porque 8 . 3 = 24También habría que observar que 3
es divisor de 24.
Otra manera de comprobar si 8 es divisor de 24, es realizando una división, que la
podemos realizar dado que los dos números son naturales.
24 : 8 = 3 y como la división es exacta podemos asegurar que 8 es divisor de 24.
Recuerden que no se puede dividir por cero y éste método no nos dice nada si
interviene el cero como divisor en el análisis.
¿Cómo podemos encontrar todos los divisores de un número?
Para encontrar todos los divisores de un número, por ejemplo 24, podemos usar la
definición de divisor, y asociar los mismos de a dos, de tal manera que el producto
de ellos de 24.
También para ser ordenados empezamos por 1.
1 . 24 = 24
2 . 12 = 24
La disposición anterior me permite deducir que no habrá divisores de 24 entre 12 y
24, ya que su asociado tendría que estar entre 1 y 2 y no sería un número natural.
Eso significa que nuestro análisis debería seguir con los números entre 2 y 12.
Siguiendo la lista tenemos:
3 . 8 = 24
4 . 6 = 24
El único número que nos queda por analizar es 5, pero 5 no es divisor de 24.
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

¿Cuándo un número natural es divisor de otro número natural?

Un número natural, supongamos 8 es divisor de otro número natural, que puede ser 24, cuando es posible encontrar un número natural que multiplicado por 8 de 24, ese otro número es 3 .

Resumiendo: 8 es divisor de 24 porque 8 . 3 = 24.

También habría que observar que 3 es divisor de 24.

Otra manera de comprobar si 8 es divisor de 24, es realizando una división, que la podemos realizar dado que los dos números son naturales.

24 : 8 = 3 y como la división es exacta podemos asegurar que 8 es divisor de 24.

Recuerden que no se puede dividir por cero y éste método no nos dice nada si interviene el cero como divisor en el análisis.

¿Cómo podemos encontrar todos los divisores de un número?

Para encontrar todos los divisores de un número, por ejemplo 24, podemos usar la definición de divisor, y asociar los mismos de a dos, de tal manera que el producto de ellos de 24.

También para ser ordenados empezamos por 1.

1 . 24 = 24

2 . 12 = 24

La disposición anterior me permite deducir que no habrá divisores de 24 entre 12 y 24, ya que su asociado tendría que estar entre 1 y 2 y no sería un número natural.

Eso significa que nuestro análisis debería seguir con los números entre 2 y 12.

Siguiendo la lista tenemos:

3 . 8 = 24

4 . 6 = 24

El único número que nos queda por analizar es 5, pero 5 no es divisor de 24.

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

¿Cuándo un número natural es múltiplo de otro número natural?

Un número, por ejemplo 42, es múltiplo de 6, cuando existe otro número natural que multiplicado por 6 de 42, en éste caso ese número es 7.

Resumiendo: 42 es múltiplo de 6, porque 6.7 =42

¿Cómo se encuentran los múltiplos de un número natural?

Si queremos encontrar los múltiplos de un número natural, por ejemplo 13, lo que debemos hacer es multiplicar a 13 por cualquier número, si queremos obtener los múltiplos en forma ordenada, multiplicamos primero por 1, después por 2 y así sucesivamente.

13 . 1 = 13
13 . 2 = 26
13 .3 = 39
13 . 4 = 52

Múltiplos de 13: 13, 26, 39, 52, …

Podría continuar la lista de múltiplos sumando 13 al último número, 52 + 13 = 65 y así sucesivamente para encontar los otros múltiplos.

Múltiplos de 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117, 130, …

Los puntos suspensivos en la lista nos indican que los múltiplos son infinitos.

¿Qué pasa con el cero, es múltiplo de los números naturales?

Si aparte de los números naturales, también estamos trabajando con el cero, el cero es múltiplo de cualquier número.

Recuerden que: 0 . n = 0
donde n representa a cualquier númera natural inclusive el cero.

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