1)      Resuelvan las siguientes ecuaciones:

a)  4x-15=5^2

4x – 15 = 25
4x   = 40
x  = 10

b) 3m+6m+7=70

9m + 7 = 70
9m = 63
m= 63:9
m = 7

c) 20=a:3+15

20-15 = a:3
5 = a:3
5.3 = a
15 = a

d) 3x+4 = 5x - 24

4 + 24 = 5x – 3x
28 = 2x
14 = x

2)      Resuelvan los siguientes problemas, planteando previamente una ecuación:

a)      La suma de cuatro números consecutivos es 118. ¿Cuáles son dichos números?

x + (x+1) + (x+2) + (x+3) = 118
4x + 6 = 118
4x = 112
x = 28

Verificación 28 + 29 + 30 + 31 = 118

Los números consecutivos cuya suma da 118 son, 28, 29, 30 y 31.

b)      De un rectángulo sabemos que la longitud de la base es el doble de la altura. Si el área es 72 cm2. ¿Cuáles son las medidas del lado?

Si llamamos x a la altura del rectángulo, la base es 2x.

base . altura = área del rectángulo

x . 2x = 72

2x^2=72

x^2=36

x = \sqrt{36}

x=6

La base del rectángulo es de 12 cm y la altura de 6 cm.

3)      Encuentren:

a)      Todos los divisores de 60.

1 . 60 = 60
2 . 30 = 60
3 . 20 = 60
4 . 15 = 60
5 . 12 = 60
6 . 10 = 60

Divisores de 60 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

b)      Todos los divisores de 144.

1 . 144 = 144
2 . 72 = 144
3 . 48 = 144
4 . 36 = 144
6 . 24 = 144
8 . 18 = 144
9 . 16 = 144
12 . 12 = 144

Divisores de 144: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144

c)       Los múltiplos de 15 entre 410 y 470.

15 . 28 = 420
15 . 29 = 435
15 . 30 = 450
15 . 31 = 465

Múltiplos de 15 entre 410 y 470: 420, 435, 450, 465

d)      Los múltiplos de 9 entre 900 y 950.

9 . 101 = 909

Múltiplos de 9 entre 900 y 950: 909, 918, 927, 936, 945

e)      Los números primos entre 100 y 110.

Los números impares entre 100 y 110 son: 101, 103, 105, 107, 109

Se descarta el 105 por ser múltiplo de 5.

Como la raíz cuadrada de 109 es aproximadamente 10,44; debemos analizar la divisibilidad de nuestros posibles números (101, 103, 107, 109) con los números primos menores que 10,44, o sea, 2, 3, 5 y 7.

  • Ninguno de los números es múltiplo de 2, ya que todos son impares.
  • Ninguno de los números es múltiplo de 3, porque la suma de sus cifras no da un múltiplo de 3.
  • Ninguno de los números es múltiplo de 5, ya que no terminan ni en cero ni en cinco.
  • Ninguno de los números es múltiplo de 7, ocupamos el criterio de la división entera y ninguna de las divisiones da exacta.

Por lo tanto:

Números primos entre 100 y 110: 101, 103, 107, 109

4)      Calculen.

a)      Con la factorización y con el algoritmo de Euclides:

mcd (28, 54) =

Factorización

28 = 2.2.7
54 = 2.3.3.3
mcd = 2

Algoritmo de Euclides

54 : 28 = 1   resto = 26
28 : 26 = 1   resto = 13
26 : 13 = 2   resto = 0
mcd = 2

b)      Con la factorización y la fórmula correspondiente:

mcm (30, 44) =

Factorización

30 = 2.3.5
44 = 2.2.11
mcm = 2.2.3.5.11
mcm = 660

Para encontrar el mcm con la relación que tiene con el mcd, necesitamos primero el mcd que es 2.

mcm = \frac{30.44}{mcd}=\frac{1320}{2}=660

mcm = 660

5)      Resuelvan los siguientes problemas:

a)      Para armar ofertas de golosinas, don Héctor cuenta con 60 chupetines, 75 galletitas con chocolate y 120 caramelos. Quiere armar bolsitas iguales que contengan el mayor número posible de cada cosa.
¿Cómo pueden averiguar las cantidades? ¿Cuántas bolsitas se pueden armar?

Para averiguar las cantidades solicitadas debemos encontrar el mcd entre 60, 75 y 120. Podemos hacerlo por el método de factorización.

60 = 2.2.3.5
75 = 3.5.5
120 = 2.2.2.3.5
mcd = 3.5 = 15

Cada bolsita debe contener 15 golosinas.

60 : 15 = 4  –> 4 bolsitas de chupetines
75 : 15 = 5 –> 5 bolsitas de galletitas de chocolate
120: 15 = 8 –> 8 bolsitas de caramelos.

4 + 5 + 8 = 17

Para armar las ofertas de golosinas se necesitan 17 bolsitas.

b)      Además, don Héctor tiene una caja de bolitas que quiere colocar en bolsas que contengan la misma cantidad.

Si coloca 2 en cada una de las bolsas, le queda una suelta. Pero si coloca 3 en cada una, le sobran 2. En cambio, al colocar 4, le sobran 3.

Finalmente, logra armar bolsas con 5 bolitas cada una, sin que queden sueltas.

¿Con cuántas bolitas contaba don Héctor si en la caja había más de 70 y menos de 100? ¿Cómo lo averiguaron?

Para averiguar cuantas bolitas había en la caja, debemos buscar un número impar (ya que si se los embolsa de a 2 sobra 1 bolita), el número buscado termina en 5 (debido a que si se las agrupa de a 5 no sobra ninguna bolita y es impar).
Como debe el número buscado debe estar entre 70 y 100, las posibles opciones son:

75, 85, 95

75 no puede ser porque 75 : 3 = 25 con resto = 0, y debían sobrar 2.

85 no puede ser porque 85 : 4 = 21 con resto = 1, y debían sobrar 3.

El número buscado es 95, porque:

  • Es impar.
  • Es múltiplo de 5.
  • 95 : 3 = 21 y sobra 2.
  • 95 : 4 = 23 y sobra 3.

Don Héctor tenía 95 bolitas en la caja.