Los axiomas de este grupo definen la idea de congruencia o desplazamiento.

Entre los segmentos existe una relación que es descripta por la palabra “congruente”.

Axioma IV – 1

Si A y B son dos puntos en una línea recta a, y si A’ es un punto de la misma o de otra recta a’, entonces a un lado de A’ sobre la recta a’, podemos encontrar siempre un único punto B’  tal que el segmento AB es congruente con A’ B’.
Indicaremos esta relación escribiendo:

AB ≡ A' B'

Todo segmento es congruente con si mismo, eso significa que AB ≡ AB.

Axioma IV – 2

Si un segmento AB es congruente a un segmento A’ B’ y también a un segmento A”B”, entonces el segmento A’B’ es congruente con el segmento A” B”.
Si AB ≡ A’ B’ y AB ≡ A” B”, entonces A’B’ ≡ A” B”

Axioma IV – 3

Sean AB y BC dos segmentos de una recta a que no tienen puntos en común salvo B, y sean además, A’ B’ y B’ C’ dos segmentos en la misma recta o en otra a’, que no tiene puntos en común salvo B’.
Entonces si AB ≡ A’ B’ y BC ≡ B’ C’ tenemos que AC ≡ A’ C’.