El múltiplo común menor de dos o más números, es el menor de los múltiplos que tienen en común dichos números.

Ejemplo: mcm ( 5, 4, 6)
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, …
Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, …
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 56, 60, 66, …

mcm (4, 5, 6) = 60

Cálculo con la factorización

4 = 2.2
5 = 5
6 = 2.3

Recuerden que el múltiplo de un número se obtiene multiplicando a ese número por cualquier otro. Con esa consideración buscamos la factorización del mcm poniendo los factores de todos los números en cuestión, utilizando la menor cantidad de factores posibles.

Empezamos a armar la factorización del mcm poniendo los factores del 4.

mcm = 2.2

Luego tenemos que tener en cuenta la factorización del 5.

mcm =2.2.5

Por último agregamos la factorización del 6. Como la factorización de 6 es 2.3 y en la factorización del mcm ya tenemos 2.2.5, entonces sólo agregaremos un 3 en la misma.

mcm = 2.2.3.5=60

Criterio del 2

Un número es divisible por 2 si es par.

Ejemplo: 2, 56, 128, 320 son divisibles (múltiplos) por 2.

Criterio del 3

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.

Ejemplo: 252 es múltiplo de 3 dado que 2 + 5 + 2 = 9 y 9 es múltiplo de 3.

Criterio de 4

Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son múltiplo de 4.

Ejemplo: 12.348 es múltiplo de 4, porque 48 es múltiplo de 4.

Criterio del 5

Un número es divisible por 5 si termina en cero o en cinco.

Ejemplo: 34.565 y 7.430 son múltiplos de 5.

Criterio del 6

Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y es divisible por 3.

Ejemplo: 342 es múltiplo de 6, porque es par y la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (3 + 4 + 2 = 9).

Criterio del 9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.

Ejemplo: 783 es múltiplo de 9, porque la suma de sus cifras es un múltiplo de 9 (7 + 8 + 3 = 18).

Criterio del 10

Un número es divisible por 10 cuando termina en cero.

Ejemplo: 340 y 1200 son múltiplos de 10 porque terminan en cero.

¿Cuándo un número natural es múltiplo de otro número natural?

Un número, por ejemplo 42, es múltiplo de 6, cuando existe otro número natural que multiplicado por 6 de 42, en éste caso ese número es 7.

Resumiendo: 42 es múltiplo de 6, porque 6.7 =42

¿Cómo se encuentran los múltiplos de un número natural?

Si queremos encontrar los múltiplos de un número natural, por ejemplo 13, lo que debemos hacer es multiplicar a 13 por cualquier número, si queremos obtener los múltiplos en forma ordenada, multiplicamos primero por 1, después por 2 y así sucesivamente.

13 . 1 = 13
13 . 2 = 26
13 .3 = 39
13 . 4 = 52

Múltiplos de 13: 13, 26, 39, 52, …

Podría continuar la lista de múltiplos sumando 13 al último número, 52 + 13 = 65 y así sucesivamente para encontar los otros múltiplos.

Múltiplos de 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, 117, 130, …

Los puntos suspensivos en la lista nos indican que los múltiplos son infinitos.

¿Qué pasa con el cero, es múltiplo de los números naturales?

Si aparte de los números naturales, también estamos trabajando con el cero, el cero es múltiplo de cualquier número.

Recuerden que: 0 . n = 0
donde n representa a cualquier númera natural inclusive el cero.

1)  ¿Cuáles de las siguientes divisiones son exactas?

1234 : 12 =

221 : 17 =

1587 : 23 =

459 : 18 =

Solución

2)  Decidan cuáles de los siguientes números son divisores de 406.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Solución

3)  Escriban los primeros 20 múltiplos de 13.

Solución

4)  Romina cuenta de 5 en 5 y Pablo de 6 en 6. ¿En qué número coinciden por primera vez? ¿Cada cuánto vuelven a coincidir?

Solución

5)  Andrea tiene 45 figuritas y quiere colocarlas formando un rectángulo, sin que le sobre ninguna. ¿De cuántas maneras distintas puede disponer las figuritas?

Solución

Al trabajar con números naturales podemos realizar las siguientes afirmaciones:

Si tenemos que 2.3 = 6

  • 6 es múltiplo de 2 y 3.
  • 2 y 3 son divisores de 6.

También podemos decir que:

  • 15 es múltiplo de 3, porque 3.5 = 15
  • 4 es divisor de 32,  porque 4.8 = 32

¿Por qué 36 es múltiplo de 12?

  • Porque 12.3 = 36

¿Porqué 36 no es múltiplo de 8?

  • Porque no existe un número natural que multiplicado por 8 de 36. (8.4= 32 y 8.5 = 40)

¿Por qué 7 es divisor de 35?

  • Porque 7.5 = 35

¿Porqué 4 no es divisor de 22?

  • Porque no existe un número natural que multiplicado por 4 de 22.

Definición:

Si a, b y n son números naturales y a.b = n, entonces:

  • n es múltiplo de a y múltiplo de b.
  • a y b son divisores de n.

Propiedades:

Sabiendo que n representa cualquier número natural y al cero, tenemos que:

Si 1.n = n

  • Cualquier número natural es múltiplo de 1.
  • Cualquier número natural es múltiplo de sí mismo.
  • 1 es divisor de cualquier número natural.
  • Cualquier número natural es divisor de sí mismo.

Si 0.n=0

  • 0 es múltiplo de 0.
  • 0 es múltiplo de cualquier número natural.
  • o es divisor de 0.
  • Cualqueir número es divisor de 0.
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