Los axiomas de este grupo definen la idea expresada en la palabra “entre“, y establece en base a ésta idea un orden de sucesión en los puntos de una recta, en el plano y en el espacio. Los puntos de una recta tienen cierta relación y la palabra “entre” sirve para describirla. Los axiomas de este grupo son los siguientes:

Axioma II – 1

Si A, B y C son puntos de una recta y B está entre A y C, entonces B también está entre C y A.

axioma 2 - 1

Axioma II – 2

Si A y C son puntos de una recta, entonces existe al menos un punto B entre A y C y al menos un punto D situado tal que C esté entre A y D.

axioma 2 - 2

Axioma II – 3

Dados tres puntos cualesquiera de una recta, existe uno y sólo uno de ellos que está situado entre los otros dos.

Axioma II – 4

Dados cuatro puntos cualesquiera A, B, C, D de una recta  siempre pueden ser ordenados tal que B este entre A y C y también entre A y D; y además, que C esté entre A y D y también entre B y D.

Definición:
Dados dos puntos A y B sobre una recta, llamaremos segmento a los puntos que están entre A y B, lo denotaremos AB o BA. Los puntos que están entre A y B se dicen que son puntos del segmento AB o que pertenecen al segmento. Todos los otros puntos de la recta se dicen que están fuera del segmento. Los puntos A y B son llamados extremos del segmento.

axioma 2 - 3

Axioma II – 5

Sean A, B y C tres puntos que no están sobre la misma recta y sea a una recta que está en el plano ABC y no pasa por los puntos A, B y C. Entonces, si una recta pasa atraves del segmento AB, entonces pasará por un punto del segmento AC o un punto del segmento BC.

axioma 2 - 5

Los axiomas 1 a 4 están relacionados con puntos sobre una recta y son llamados axiomas lineales del grupo II, el axioma 5 es llamado axioma plano del grupo II.

Existen puntos que los designaremos con las letras A, B, C, …

Existen rectas que las designaremos con las letras a, b, c, …

Existen planos que los designaremos con letras griegas α, β, γ, …

Los puntos s on los elementos de la geometría lineal, las rectas son los elementos de la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos son los elementos de la geometría del espacio.

Estos puntos, rectas y planos tiene relaciones entre ellos, que indicaremos con palabras como “están situados”, “entre”, “paralelas”, “congruentes”, etc.  Una completa descripción de ellos y de sus relaciones serán consecuencias de los axiomas de la geometría. Estos axiomas pueden ser presentados en 5 grupos, cada grupo expresa por sí mismo relaciones fundamentales, hechos de nuestra intuición.

  • I – Axiomas de conexión (1 – 7)
  • II – Axiomas de orden (1 – 5)
  • III – Axioma de las paralelas (Axioma de Euclides)
  • IV – Axiomas de congruencia (1 – 6)
  • V – Axioma de continuidad (Axioma de Arquímedes)

Con ayuda de los cuatro axiomas lineales II 1-4, podemos fácilmente deducir los siguientes teoremas:

Teorema 3:

Entre dos puntos de una recta, existen infinitos puntos.

Teorema 4:

Si tenemos un número finito de puntos situados en una recta, podemos siempre ordenarlos en una sucesión A, B, C, D, E, … , K tal que B esté entre A y C, D, E, … ,K; C esté entre A, B y D, E, … , K; D esté entre A, B, C y E, … , K, etc.
Aparte de este orden de sucesión, existe otro con propiedades similares, el orden inverso, K, … , E, D, C, B, A.

Teorema 5:

Toda recta a que se encuentra en un plano α, divide al resto de los puntos en dos regiones que tienen las siguientes propiedades: Todo punto A de una de las regiones determina con cada punto B de la otra región un segmento AB que contiene un punto de la recta a.  Por otro lado, dos puntos cualesquiera A, A’ de la misma región determinan un segmento AA’ que no contiene ningún punto de a.

Si A, A’, O B son cuatro puntos de una recta a, donde O se encuentra entre A y B pero no entre A y A’, entonces podemos decir: Los puntos A, A’ están situados del mismo lado con respecto a O, y los puntos A y B están situados sobre diferentes lados del punto O.

Todos los puntos de a que se encuentran del mismo lado del punto O, tomados juntos, son llamados semirrecta de origen O. Por lo tanto, cada punto de una recta divide a la misma en dos semirrectas.

Haciendo uso de la notación del teorema 5, decimos: los puntos A, A’ están en un plano α sobre el mismo lado con repecto a la recta a, y los puntos A y B están en lados diferentes con respecto a la recta a.

Definiciones:

Un sistema de segmentos AB, BC, CD, … , KL es llamado línea quebrada que une A con L, y es designada brevemente, como la línea quebrada ABCDE … KL. Los puntos que se encuentran sobre los segmentos AB, BC, CD, … ,KL, como así también los puntos A, B, C, D, … , K, L son llamados los puntos de la línea quebrada. En particular, si el punto A coincide con el punto L, la línea quebrada es llamada polígono ABCD … K. Los segmentos AB, BC, CD, … , KA son llamados lados del polígono y los puntos A, B, C, D, …, K los vértices. Los polígonos que tiene 3, 4, 5, … , n vértices son llamados, respectivamente, triángulos, cuadrángulos, pentágonos, … , n-ágonos. Si los vértices de un polígono son todos distintos y no se encuentran sobre los segmentos que componen los lados del polígono, y, además, si dos lados no tienen puntos en común, entonces el polígono es llamado polígono simple.

Con ayuda del teorema 5, podemos obtener ahora, sin serias dificultades, los siguientes teoremas:

Teorema 6:

“Todo el conocimiento humano comienza con intuiciones,
de allí pasa a conceptos y finaliza con ideas”
Kant

La geometría, como la aritmética, requiere para su desarrollo solo un pequeño número de principios fundamentales simples. Estos principios fundamentales son llamados axiomas de la geometría. La elección de estos axiomas y la investigación de sus relaciones es un problema que, desde los tiempos de Euclides, ha sido discutido en numerosas memorias que se encuentra en la literatura matemática. Este problema es equivalente al análisis lógico de nuestra intuición del espacio.

La siguiente investigación es un nuevo intento en la elección para la geometría de un conjunto simple y completo de axiomas independientes y para deducir de estos sus teoremas más importantes, y de esa manera de hallar lo más claramente posible el significado de los diferentes grupos de axiomas y el alcance de las conclusiones derivadas de los axiomas individuales.

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