Análisis Matemático


Visiten ésta excelente página para cálculos y gráficos matemáticos y muchos cosas más.

http://www.wolframalpha.com/

image002

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función f(x) = 2^x-3 en el punto x=2.

Realizamos el gráfico de la función f(x).

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=2^x-3+from+-1+to+3

Primero hacemos f(2) para averiguar el punto de la gráfica por donde pasa la tangente.

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=2^2-3

El punto en cuestión es (2,1)

Ahora tenemos que encontrar la derivada de la función f(x).

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=derivative+2^x-3

la función derivada es:

f'(x)=2^x.log(2)

A continuación debemos encontrar la pendiente de la recta tangente, esa información la otorga la derivada de la función evaluada en  x=2.

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=2^2.log(2.)

por lo tanto la pendiente de la recta esta dada por:

f'(2)=2,77

Para averiguar la ecuación de la recta tangente nos falta la ordenada al origen.

Recuerden que sabemos que la recta pasa por el punto (2,1) y tiene pendiente 2,77.

y=ax+b

b=y-ax

b=1-2,77.2

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=1-2.77*2

b= -4,54

Por lo tanto la ecuación de nuestra recta es:

y=2,77x-4,54

y su gráfica es:

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=plot[2^x-3,2.77x-4.54]+from+-0.1+to+3

¿Cómo realizar gráficos de una función y su tangente en WolframAlpha?

Graficar la función

f(x)=x^2

y la recta tangente a la gráfica de la función, en x = 1

g(x)=2x-1

http://www28.wolframalpha.com/input/?i=plot[2x-1,x^2]+from+-2+to+2

Analizar la función f(x) = \frac{1}{2-x}.

funcion 1sobre 2 menos x

  • Dominio
  • Imagen
  • Raíces
  • Ordenada al origen
  • Intervalos de crecimiento
  • Intervalos de decrecimiento
  • Conjunto de positividad
  • Conjunto de negatividad
  • Máximo
  • Mínimo
  • \lim _{x\rightarrow 0^{-}}f(x)
  • \lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x)
  • \lim _{x\rightarrow 0}f(x)
  • \lim _{x\rightarrow +\infty}f(x)
  • \lim _{x\rightarrow -\infty}f(x)

Encontrar los máximos y mínimos de la función:

f(x) = 2x^3-2x^2-28x+48.

imagen

Primero derivamos la función

Máximos y mínimos (Solución en pdf) Realizada en Maple 13.

Encuentren la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada por f(x)=\frac{1}{x} en x =2.

funcion 1sobre x

  • Obtengan las coordenadas del punto.
  • Obtengan la pendiente de la recta tangente, con la derivada de la función.
  • Obtengan la ordenada al origen de la recta.

Solución ( pdf realizada en Maple 13)

Analicemos la función f(x) = x^3 – 2x^2

Dominio

Dom f = R

El dominio de la función f(x) son todos los números reales, dado que las operaciones que intervienen se pueden realizar con todos los números reales.

Imagen

Im f = R

La imagen de la función son todos los números reales. La función que estamos analizando es función polionómica de grado 3, o sea una función cúbica.

Raíces

Busquemos las raíces

x^3 – 2x^2 = 0

x^2(x – 2) = 0

(x – 0)(x – 0)(x – 2) = 0

Por lo tanto las raíces son 0 y 2. Recordemos que 0 es una raíz doble.

Ordenada al origen

Veamos el valor de la función en 0.

f(0) = 0

Conjunto de positividad y Conjunto de negatividad

Teniendo las raíces o y 2, el eje x queda dividido en tres intervalos (-∞ ; 0) (0 ; 2) y (2 ; ∞).

Tenemos que analizar el valor de la función en valores de x que pertenezcan a cada intervalo.

f(-2) < 0

f(1) < 0

f(3) > 0

Por lo tanto:

C- = (- ∞ ; 0) y (0 ; 2)

C+ = (2, +∞)

Máximos y mínimos

Derivamos la función f(x):

f´(x) = 3x^2 – 4x

Las raíces de las función derivada son los posibles valores del máximo y del mínimo.

f´(x) = 3x^2 – 4x

3x^2 – 4x = 0

3x(x – 4/3) = 0

Las raíces son 0 y 4/3.

Para analizar cuál es el máximo y cuál es el mínimo debemos encontrar la segunda derivada.

f´´(x) = 6x – 4

f´´(0) = -4 < 0 En 0 hay un máximo

f´´(4/3) = 4 > 0 En 4/3 hay un mínimo

Ahora sabemos en valores hay un máximo y un mínimo pero no sabemos cuánto valen.

f(0) = 0

f(4/3) = -1,18

Hay un máximo en (0 ; 0)

Hay un mínimo en (4/3 ; -1,18)

Intervalo de crecimiento e Intervalo de decrecimiento

Ahora que tenemos la ubicación del máximo y del mínimo podemos encontrar estos intervalos.

El eje x queda dividido en tres intervalos.

Analizando que de el máximo al mínimo hay un decrecimiento tenemos que:

Crecimiento = (-∞ ; 0) (4/3 ; ∞)

Decrecimiento = (0 ; 4/3)

Punto de inflexión

En la raíz de la segunda derivada hay un punto de inflexión, que es el punto del gráfico donde se cambia la concavidad.

f´´(x) = 6x – 4

6x – 4 = 0

La raíz es 2/3. Por lo tanto en x = 2/3 hay un punto de inflexión.

Representación gráfica

función

Aquí tenemos una páginas que explican muy bien el concepto de derivada.

Concepto de derivada

Derivada en un punto

Analicen la función f(x) = 1/x
funcion1sobrex 

Respuesta de Verónica Bernardis y Mauricio Ramirez Boll 6° 2°

Dominio: R≠0

Imagen: R≠0

Raíces: -

Ordenada al origen: -

Crecimiento: -

Decrecimiento: (-∞;0) , (0; ∞)

Positividad: (0; ∞)

Negatividad: (-∞;0)

Límite x –-> +∞ = 0

Límite x –-> – ∞ = 0

Límite x –-> 0 Derecha: ∞

Límite x –-> 0 Izquierda: -∞

 

Graficar y analizar la siguiente función:

Rta. de Gabriel Menace 6°2°

Gráfico Para ver el gráfico hacer click aquí

Dominio: R

Img: (2 ; ∞)

Intervalo de Decrecimiento: (-∞ , 3)

Intervalo de Crecimiento: (3, ∞)

Intervalo de Positividad:(-∞, +∞)

Int. de Negatividad: No posee

Ordenada al Orignen: 5

Raiz: No posee


Ejemplo: Análisis de la función

Gráfico:

funcion 1sobre x menos 1

Observen que en la representación gráfica la recta vertical que pasa por el punto (1,0), o dicho de otra manera menos rigurosa, que pasa por 1 en el eje x, es una asíntota a la hipérbola.

Análisis:,

Dominio: R-{1}

Imagen: R-{0}

Raíces: No tiene

Ordenada al origen: -1

Intervalo de crecimiento: No tiene

Intervalo de decrecimiento: (-∞; 1) (1, ∞)

Conjunto de positividad: (1, ∞)

Conjunto de negatividad: (-∞; 1)

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