Análisis Matemático


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http://www.wolframalpha.com/

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Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función f(x) = 2^x-3 en el punto x=2.

Realizamos el gráfico de la función f(x).

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=2^x-3+from+-1+to+3

Primero hacemos f(2) para averiguar el punto de la gráfica por donde pasa la tangente.

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=2^2-3

El punto en cuestión es (2,1)

Ahora tenemos que encontrar la derivada de la función f(x).

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=derivative+2^x-3

la función derivada es:

f'(x)=2^x.log(2)

A continuación debemos encontrar la pendiente de la recta tangente, esa información la otorga la derivada de la función evaluada en  x=2.

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=2^2.log(2.)

por lo tanto la pendiente de la recta esta dada por:

f'(2)=2,77

Para averiguar la ecuación de la recta tangente nos falta la ordenada al origen.

Recuerden que sabemos que la recta pasa por el punto (2,1) y tiene pendiente 2,77.

y=ax+b

b=y-ax

b=1-2,77.2

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=1-2.77*2

b= -4,54

Por lo tanto la ecuación de nuestra recta es:

y=2,77x-4,54

y su gráfica es:

http://www82.wolframalpha.com/input/?i=plot[2^x-3,2.77x-4.54]+from+-0.1+to+3

¿Cómo realizar gráficos de una función y su tangente en WolframAlpha?

Graficar la función

f(x)=x^2

y la recta tangente a la gráfica de la función, en x = 1

g(x)=2x-1

http://www28.wolframalpha.com/input/?i=plot[2x-1,x^2]+from+-2+to+2

Analizar la función f(x) = \frac{1}{2-x}.

funcion 1sobre 2 menos x

  • Dominio
  • Imagen
  • Raíces
  • Ordenada al origen
  • Intervalos de crecimiento
  • Intervalos de decrecimiento
  • Conjunto de positividad
  • Conjunto de negatividad
  • Máximo
  • Mínimo
  • \lim _{x\rightarrow 0^{-}}f(x)
  • \lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x)
  • \lim _{x\rightarrow 0}f(x)
  • \lim _{x\rightarrow +\infty}f(x)
  • \lim _{x\rightarrow -\infty}f(x)

Encontrar los máximos y mínimos de la función:

f(x) = 2x^3-2x^2-28x+48.

imagen

Primero derivamos la función

Máximos y mínimos (Solución en pdf) Realizada en Maple 13.

Encuentren la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función dada por f(x)=\frac{1}{x} en x =2.

funcion 1sobre x

  • Obtengan las coordenadas del punto.
  • Obtengan la pendiente de la recta tangente, con la derivada de la función.
  • Obtengan la ordenada al origen de la recta.

Solución ( pdf realizada en Maple 13)

Analicemos la función f(x) = x^3 – 2x^2

Dominio

Dom f = R

El dominio de la función f(x) son todos los números reales, dado que las operaciones que intervienen se pueden realizar con todos los números reales.

Imagen

Im f = R

La imagen de la función son todos los números reales. La función que estamos analizando es función polionómica de grado 3, o sea una función cúbica.

Raíces

Busquemos las raíces

x^3 – 2x^2 = 0

x^2(x – 2) = 0

(x – 0)(x – 0)(x – 2) = 0

Por lo tanto las raíces son 0 y 2. Recordemos que 0 es una raíz doble.

Ordenada al origen

Veamos el valor de la función en 0.

f(0) = 0

Conjunto de positividad y Conjunto de negatividad

Teniendo las raíces o y 2, el eje x queda dividido en tres intervalos (-∞ ; 0) (0 ; 2) y (2 ; ∞).

Tenemos que analizar el valor de la función en valores de x que pertenezcan a cada intervalo.

f(-2) < 0

f(1) < 0

f(3) > 0

Por lo tanto:

C- = (- ∞ ; 0) y (0 ; 2)

C+ = (2, +∞)

Máximos y mínimos

Derivamos la función f(x):

f´(x) = 3x^2 – 4x

Las raíces de las función derivada son los posibles valores del máximo y del mínimo.

f´(x) = 3x^2 – 4x

3x^2 – 4x = 0

3x(x – 4/3) = 0

Las raíces son 0 y 4/3.

Para analizar cuál es el máximo y cuál es el mínimo debemos encontrar la segunda derivada.

f´´(x) = 6x – 4

f´´(0) = -4 < 0 En 0 hay un máximo

f´´(4/3) = 4 > 0 En 4/3 hay un mínimo

Ahora sabemos en valores hay un máximo y un mínimo pero no sabemos cuánto valen.

f(0) = 0

f(4/3) = -1,18

Hay un máximo en (0 ; 0)

Hay un mínimo en (4/3 ; -1,18)

Intervalo de crecimiento e Intervalo de decrecimiento

Ahora que tenemos la ubicación del máximo y del mínimo podemos encontrar estos intervalos.

El eje x queda dividido en tres intervalos.

Analizando que de el máximo al mínimo hay un decrecimiento tenemos que:

Crecimiento = (-∞ ; 0) (4/3 ; ∞)

Decrecimiento = (0 ; 4/3)

Punto de inflexión

En la raíz de la segunda derivada hay un punto de inflexión, que es el punto del gráfico donde se cambia la concavidad.

f´´(x) = 6x – 4

6x – 4 = 0

La raíz es 2/3. Por lo tanto en x = 2/3 hay un punto de inflexión.

Representación gráfica

función

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