Geometría


Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando sus lados son semirrectas opuestas.

geo230 - ang op vert

Los ángulos \alpha y \beta son opuestos por el vértice.

Las semirrectas OA y OD son opuestas.
Las semirrectas OB y OC son opuestas.

Cuando dos rectas son secantes quedan formados dos pares de ángulos opuestos por el vértice.

geo232 - ang op vert

Vemos que los pares de ángulos opuestos por el vértice son:

α y γ

β y δ

Teorema:

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

geo231 - ang op vert

Demostración:

El ángulo α es adyacente al ángulo AOC yel ángulo β tanbién es adyacente a AOC.

Entonces podemos escribir:

\alpha + AOC=180^{o}

\beta + AOC=180^{o}

Luego:

\alpha + 180^{o}= \beta + 180^{o}

Por lo tanto:

\alpha = \beta

Si dos rectas tienen un punto en común se llaman secantes.

Las rectas secantes se clasifican en oblicuas y perpendiculares.

Rectas Oblicuas

Si dos rectas tienen un punto de intersección, y forman ángulos no todos iguales, las rectas se llaman oblicuas.

geometria 090 - rectas oblicuas

Rectas Perpendiculares

Si dos rectas tienen un punto de intersección, y forman cuatro ángulos iguales, las rectas se llaman perpendiculares y los ángulos se llaman rectos.

geometria 090 - rectas perpendiculares

Dos rectas que están en el mismo plano y no tienen ningún punto de intersección, se llaman rectas paralelas.

geometria 090 - rectas paralelas

Dos ángulos son consecutivos cuando sólo tienen un lado en común.

geo83 - angulos cosecutivos

Los ángulos α y β son consecutivos, la semirrecta OC es lo único que tienen en común.

Dos rectas que tienen un punto de intersección, dividen al plano en cuatro regiones, cada uno de ellas recibe el nombre de ángulo. El punto de intersección es el vértice del ángulo, y las semirrectas que forman los bordes de la región se llaman lados del ángulo.

geo090 - ang

En el gráfico anterior las rectas r y s tienen el punto O en común, pintamos uno de los ángulos formados y lo nombramos con la letra griega α.

También podemos nombrar un ángulo a partir de tres puntos, el vértice y dos puntos pertenecientes a cada uno de los lados.

geo095 - angulo

El ángulo alfa tiene vértice O y sus lados a y b pasan por los puntos A y B respectivamente, puede escribirse poniendo un símbolo parecido a un sombrero sobre el vértice e indicando los puntos por donde pasan los lados, como en la figura. Es decir, al ángulo alfa lo podemos nombrar como el ángulo AOB, sobreentendiendo que en el medio de los tres puntos se encuentra el vértice.

Si tenemos un plano α y una recta en ese plano, el plano queda dividido en dos partes.

geo080 - semiplano

Cada una de esas partes recibe el nombre de semiplano de borde r.

Para indicar el semiplano que queremos tener en cuenta, determinamos un punto en dicho semiplano.

geo085 - semiplano y pto

En el gráfico al semiplano sombreado lo llamaríamos semiplano de borde r, que pasa por el punto P.

En símbolos Spl(r,P)

Dos segmentos son congruentes cuando superpuestos sus extremos coinciden.

Para construir segmentos congruentes utilizaremos un compás.

Supongamos que queremos construir un segmento congruente al segmento AB pero con origen en el punto C y contenido en la semirrecta s.

geo060 - seg congr

Con el compás tomamos la distancia entre los puntos A y B, haciendo centro en A y con el extremo del lápiz en B.

geo061 - seg congr

Luego, manteniendo fija la amplitud del compás, hacemos centro en C y trazamos un arco que corte a la semirrecta s.

geo062 - seg congr

Marcamos el punto de intersección, en este caso lo llamamos D.

AB = CD

Si consideramos una recta r y en ella dos puntos distintos A, B, llamaremos segmento de extremos A y B, al conjunto formado por los puntos que están entre A y B.

geo059 - segmento

Dos semirrectas son opuestas si están en la misma recta y lo único que tienen en común es el origen.

geo056 - semirrecta

Las semirrectas OA y OB son opuestas, O (el origen de ambas) es el punto en común.

Si consideramos una recta r y un punto O en la misma, la recta queda dividida en dos partes. Cada una de esas partes, junto con el punto O, recibe el nombre de semirrecta de origen O.

geo045 - rec y punto

Para nombrarlas marcamos el punto A y un punto B en cada una de las partes.

geo050 - rec y tres puntos

Para denotar la semirrecta de origen O que pasa por A escribimos:

\overrightarrow{OA}

geo055 - semirrecta

Una recta se prolonga indefinidamente a lo largo de sus dos sentidos, sin embargo, una semirrecta sólo lo hace en uno de sus sentidos, por eso se dice que la semirrecta tiene principio (el origen) pero no tiene fin.

Además de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geométrico, necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostración por resultar evidentes, a dichos postulados los llamaremos axiomas. Los axiomas también resultan ser entonces el punto de partida, todas los otros postulados que vayamos construyendo necesitarán demostración, es decir que, utilizaremos la lógica junto con los conceptos primitivos y los axiomas para validarlos. Estos nuevos postulados recibirán el nombre de teoremas, y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes postulados o propiedades.

euclidesEuclides

Teorema: por una recta y por un punto que no pertenece a la misma, pasa un único plano.

Demostración: Recuerden que sólo podemos utilizar los conceptos y los axiomas vistos anteriormente para la demostración.

Paso 1: El enunciado del teorema tiene dos partes, en la primera nos dice con los conocimientos que contamos, nos enmarca la situación de la cual debemos partir (Hipótesis); la segunda parte del teorema nos da la conclusión o sea a lo que debemos llegar (Tesis).

Para este teorema en particular la hipótesis es que tenemos una recta y un punto que no está en la recta, ese debe ser nuestro punto de partida; la tesis nos indica que por esos dos objetos, en esas condiciones, pasa un único plano.

teorema

Paso 2: Tenemos una recta que llamaremos “r” y un punto fuera de ella que llamaremos “C”. Por el axioma 3 sabemos que r tiene infinitos puntos, a dos de esos puntos los llamaremos A y B. Lógicamente nos encontramos que tenemos tres puntos A, B y C que no estan alineados, pues C no está en la recta que pasa por A y B. Ahora podemos usar el axioma 7 que nos dice que por A, B y C pasa un único plano al cual llamaremos α.  Nos queda utilizar el axioma 8 el cual nos asegura que la recta r, que contiene a los puntos A y B, también pertenece al plano  α.

Conclusión: la recta r y el punto C pertenecen a un único plano que llamamos α.

Además de los conceptos primitivos para construir el conocimiento geométrico, necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostración por resultar evidentes, a dichos postulados los llamaremos axiomas. Los axiomas también resultan ser entonces el punto de partida, todas los otros postulados que vayamos construyendo necesitarán demostración, es decir que, utilizaremos la lógica junto con los conceptos primitivos y los axiomas para validarlos. Estos nuevos postulados recibirán el nombre de teoremas, y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes postulados o propiedades.

Axiomas

Un “axioma” es una proposición evidente por sí misma y por lo tanto no necesita demostración.

Los axiomas y los conceptos primitivos son la base fundamental de la geometría.

Axiomas básicos

1-    El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos.

2-    El plano tiene infinitos puntos y rectas.

3-     La recta tiene infinitos puntos.

4-    Por un punto pasan infinitas rectas.

geo020 - axioma 4

5-    Por una recta pasan infinitos planos.

geo025 - axioma 5

6-    Por dos puntos pasa una única recta.

geo030 - axioma 6

7-    Por tres puntos no alineados pasa un único plano.

En este caso debemos aclarar que significa alineados. Tres puntos están alineados si pertenece a una misma recta.

geo035 - axioma 7

8-    Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que pasa por esos dos puntos también se encuentra en el mismo plano.

geo040 - axioma 8

El espacio es considerado como un conjunto, sus elementos son puntos y estos se unen para formar las rectas y los planos, entre otras cosas. A estos cuatro conceptos; espacio, punto, recta y plano; no los definiremos, aunque todos tenemos una idea de ellos y conocemos objetos que los pueden representar, pero sólo representar, ya que dichos conceptos son ideales, es decir, existen únicamente en la mente humana.

Los puntos son fundamentales en la construcción del conocimiento geométrico, no tienen dimensión y cuando hablemos de ellos los nombraremos con letras en imprenta mayúscula. Una marca dejada con un lápiz fino es una de las mejores representaciones de un punto.

geo005 - puntos

Las rectas se representan con letras en imprenta minúscula, y se corresponden con líneas que no se doblan.

geo010 - rectas

Los planos se representan con letras griegas y para representarlos podemos utilizar diversas superficies planas, el piso de una habitación, la superficie de una mesa, una hoja de block, etc.

geo015 - planos

El Alfabeto Griego en Wikipedia

En  pdf.

alfabeto_griego

GeoGebra es un software libre y de plataformas múltiples que se abre a la eduación para interactuar dinámicamente con la matemática.

GeoGebra permite interactuar dinámicamente con la matemática, en un ámbito en que se reúnen las Geometría, el Algebra y el Análisis o Cálculo.

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¿Qué es GeoGebra?

GeoGebra es un software de matemática para educación en escuela media (secundaria) que reúne dinámicamente, geometria, álgebra y cálculo.

Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente.

Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así, GeoGebra tiene la potencia de manejar con variables vinculadas a números, vectores y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos singulares de una función, como Raíces o Extremos.

Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa.

En la siguiente dirección podrán encontrar la presentación de uno de los videos de geometría.

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Un ángulo es convexo cuando su amplitud es menor a 180°.

Un ángulo es cóncavo cuando su amplitud es mayor a 180°.

Se considera a la geometría como el estudio del espacio que nos rodea. De tal manera consideraremos el espacio como un conjunto de puntos, los puntos formarán el resto de los conceptos geométricos de los cuales estudiaremos sus propiedades y características, y las relaciones entre ellos. Pero es necesario que comencemos a trabajar con ciertos conceptos, que no tendrán definición y algunas relaciones entre ellos que son evidentes, a dichos objetos los llamaremos “conceptos primitivos” y a las relaciones evidentes “axiomas“. Ellos formarán la base de la geometría y servirán para realizar nuevas definiciones y encontrar nuevas relaciones que serán demostradas por medio de teoremas.

geometria

Un cubo es cuerpo de seis caras cuadradas iguales.

cubo

Un cubo también es conocido con el nombre de “hexaedro regular”.

Tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas.

En él se verifica el Teorema de Euler

c + v - a = 2

Volumen de un cubo:
El volumen de un cubo es igual al cubo de la longitud de una de sus aristas.

V = a^3

Área total del cubo:
El área total de un cubo es igual al área de una cara multiplicada por 6. El área de una cara, por ser cuadrada es igual al cuadrado de la arista.

A = 6.a^2

Ejemplo:

Si un cubo tiene 3 cm de arista.

Volumen: V=a^3=(3 \ cm)^3=27 \ cm^3

Área total : A = 6.a^2=6.(3\ cm)^2=6.9 \ cm^2=54 \ cm^2

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