Fundamentos de Hilbert


Los axiomas de este grupo definen la idea de congruencia o desplazamiento.

Entre los segmentos existe una relación que es descripta por la palabra “congruente”.

Axioma IV – 1

Si A y B son dos puntos en una línea recta a, y si A’ es un punto de la misma o de otra recta a’, entonces a un lado de A’ sobre la recta a’, podemos encontrar siempre un único punto B’  tal que el segmento AB es congruente con A’ B’.
Indicaremos esta relación escribiendo:

AB ≡ A' B'

Todo segmento es congruente con si mismo, eso significa que AB ≡ AB.

Axioma IV – 2

Si un segmento AB es congruente a un segmento A’ B’ y también a un segmento A”B”, entonces el segmento A’B’ es congruente con el segmento A” B”.
Si AB ≡ A’ B’ y AB ≡ A” B”, entonces A’B’ ≡ A” B”

Axioma IV – 3

Sean AB y BC dos segmentos de una recta a que no tienen puntos en común salvo B, y sean además, A’ B’ y B’ C’ dos segmentos en la misma recta o en otra a’, que no tiene puntos en común salvo B’.
Entonces si AB ≡ A’ B’ y BC ≡ B’ C’ tenemos que AC ≡ A’ C’.

La introducción de este axioma simplifica enormemente los principios fundamentales de la geometría y facilita no en un grado menor su desarrollo.

Axioma III

En un plano α, dados una recta a y un punto A, que no pertenece a la recta. Existe una y solo una recta que pasa por el punto A y no intersecta a la recta a. Esta recta es llamada paralela a la recta a que pasa por A.

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Este axioma de las paralelas contiene dos afirmaciones. La primera es que en el plano α, hay siempre una recta que pasa por A y no intersecta a la recta a. La segunda es que sólo hay una.

Teorema 8:
Si dos rectas a y b, de un plano no tiene intersección con una tercera recta c del mismo plano, entonces entre ellas tampoco hay intersección.

El axioma de las paralelas es un axioma plano.

Los axiomas de este grupo definen la idea expresada en la palabra “entre“, y establece en base a ésta idea un orden de sucesión en los puntos de una recta, en el plano y en el espacio. Los puntos de una recta tienen cierta relación y la palabra “entre” sirve para describirla. Los axiomas de este grupo son los siguientes:

Axioma II – 1

Si A, B y C son puntos de una recta y B está entre A y C, entonces B también está entre C y A.

axioma 2 - 1

Axioma II – 2

Si A y C son puntos de una recta, entonces existe al menos un punto B entre A y C y al menos un punto D situado tal que C esté entre A y D.

axioma 2 - 2

Axioma II – 3

Dados tres puntos cualesquiera de una recta, existe uno y sólo uno de ellos que está situado entre los otros dos.

Axioma II – 4

Dados cuatro puntos cualesquiera A, B, C, D de una recta  siempre pueden ser ordenados tal que B este entre A y C y también entre A y D; y además, que C esté entre A y D y también entre B y D.

Definición:
Dados dos puntos A y B sobre una recta, llamaremos segmento a los puntos que están entre A y B, lo denotaremos AB o BA. Los puntos que están entre A y B se dicen que son puntos del segmento AB o que pertenecen al segmento. Todos los otros puntos de la recta se dicen que están fuera del segmento. Los puntos A y B son llamados extremos del segmento.

axioma 2 - 3

Axioma II – 5

Sean A, B y C tres puntos que no están sobre la misma recta y sea a una recta que está en el plano ABC y no pasa por los puntos A, B y C. Entonces, si una recta pasa atraves del segmento AB, entonces pasará por un punto del segmento AC o un punto del segmento BC.

axioma 2 - 5

Los axiomas 1 a 4 están relacionados con puntos sobre una recta y son llamados axiomas lineales del grupo II, el axioma 5 es llamado axioma plano del grupo II.

Axioma I – 1

Dos puntos distintos A y B determinan una única recta a. Escribiremos  a=AB o a=BA.

También usaremos otras formas de expresión, podemos decir que A “yace sobre” a, A es un punto de a, a pasa por A y por B. Si A yace al mismo tiempo sobre otra recta b, diremos que a y b tienen un punto en común, A.

Axioma I – 2

Dos puntos distintos determinan completamente una recta, esto significa que si a=AB y a=AC, donde B≠C, entonces a=BC.

Axioma I – 3

Tres puntos distintos que no están en la misma recta, determinan completamente un plano, escribiremos ABC=α.

Emplearemos también las expresiones, A, B y C están en α, o A, B y C son puntos de α.

Axioma I- 4

Dados tres puntos distintos A, B y C de un plano α, que no se encuentran sobre la misma recta, determinan completamente ese plano.

Axioma I – 5

Si dos puntos A y B de una recta a, están en el plano α, entonces todos los puntos de a están en el plano α.

En ese caso diremos que la recta a, está en el plano α.

Axioma I – 6

Si dos planos α y β tienen un punto en común, entonces tienen un segundo punto en común.

Axioma I- 7

En toda recta existen al menos dos puntos, en todo plano existen al menos tres puntos que no están en la misma recta, en el espacio existen al menos cuatro puntos no todos en el mismo plano.

Los axiomas 1 y 2 están relacionados con la geometría planas, serán llamados axiomas del plano.

Los axiomas 3 a 7 serán llamados axiomas del espacio.

Teorema 1

Dos rectas en el plano tienen un punto en común o no tiene puntos en común; dos planos no tienen puntos en común o tienen en una recta en común; una plano y una recta que no está en el plano o no tienen puntos en común o tienen un punto en común.

Teorema 2

Dada una recta y punto que no está en ella, o dadas dos rectas que tienen en un punto en común, un único plano puede pasar por ellos.

Existen puntos que los designaremos con las letras A, B, C, …

Existen rectas que las designaremos con las letras a, b, c, …

Existen planos que los designaremos con letras griegas α, β, γ, …

Los puntos s on los elementos de la geometría lineal, las rectas son los elementos de la geometría plana y los puntos, las rectas y los planos son los elementos de la geometría del espacio.

Estos puntos, rectas y planos tiene relaciones entre ellos, que indicaremos con palabras como “están situados”, “entre”, “paralelas”, “congruentes”, etc.  Una completa descripción de ellos y de sus relaciones serán consecuencias de los axiomas de la geometría. Estos axiomas pueden ser presentados en 5 grupos, cada grupo expresa por sí mismo relaciones fundamentales, hechos de nuestra intuición.

  • I – Axiomas de conexión (1 – 7)
  • II – Axiomas de orden (1 – 5)
  • III – Axioma de las paralelas (Axioma de Euclides)
  • IV – Axiomas de congruencia (1 – 6)
  • V – Axioma de continuidad (Axioma de Arquímedes)

Con ayuda de los cuatro axiomas lineales II 1-4, podemos fácilmente deducir los siguientes teoremas:

Teorema 3:

Entre dos puntos de una recta, existen infinitos puntos.

Teorema 4:

Si tenemos un número finito de puntos situados en una recta, podemos siempre ordenarlos en una sucesión A, B, C, D, E, … , K tal que B esté entre A y C, D, E, … ,K; C esté entre A, B y D, E, … , K; D esté entre A, B, C y E, … , K, etc.
Aparte de este orden de sucesión, existe otro con propiedades similares, el orden inverso, K, … , E, D, C, B, A.

Teorema 5:

Toda recta a que se encuentra en un plano α, divide al resto de los puntos en dos regiones que tienen las siguientes propiedades: Todo punto A de una de las regiones determina con cada punto B de la otra región un segmento AB que contiene un punto de la recta a.  Por otro lado, dos puntos cualesquiera A, A’ de la misma región determinan un segmento AA’ que no contiene ningún punto de a.

Si A, A’, O B son cuatro puntos de una recta a, donde O se encuentra entre A y B pero no entre A y A’, entonces podemos decir: Los puntos A, A’ están situados del mismo lado con respecto a O, y los puntos A y B están situados sobre diferentes lados del punto O.

Todos los puntos de a que se encuentran del mismo lado del punto O, tomados juntos, son llamados semirrecta de origen O. Por lo tanto, cada punto de una recta divide a la misma en dos semirrectas.

Haciendo uso de la notación del teorema 5, decimos: los puntos A, A’ están en un plano α sobre el mismo lado con repecto a la recta a, y los puntos A y B están en lados diferentes con respecto a la recta a.

Definiciones:

Un sistema de segmentos AB, BC, CD, … , KL es llamado línea quebrada que une A con L, y es designada brevemente, como la línea quebrada ABCDE … KL. Los puntos que se encuentran sobre los segmentos AB, BC, CD, … ,KL, como así también los puntos A, B, C, D, … , K, L son llamados los puntos de la línea quebrada. En particular, si el punto A coincide con el punto L, la línea quebrada es llamada polígono ABCD … K. Los segmentos AB, BC, CD, … , KA son llamados lados del polígono y los puntos A, B, C, D, …, K los vértices. Los polígonos que tiene 3, 4, 5, … , n vértices son llamados, respectivamente, triángulos, cuadrángulos, pentágonos, … , n-ágonos. Si los vértices de un polígono son todos distintos y no se encuentran sobre los segmentos que componen los lados del polígono, y, además, si dos lados no tienen puntos en común, entonces el polígono es llamado polígono simple.

Con ayuda del teorema 5, podemos obtener ahora, sin serias dificultades, los siguientes teoremas:

Teorema 6:

“Todo el conocimiento humano comienza con intuiciones,
de allí pasa a conceptos y finaliza con ideas”
Kant

La geometría, como la aritmética, requiere para su desarrollo solo un pequeño número de principios fundamentales simples. Estos principios fundamentales son llamados axiomas de la geometría. La elección de estos axiomas y la investigación de sus relaciones es un problema que, desde los tiempos de Euclides, ha sido discutido en numerosas memorias que se encuentra en la literatura matemática. Este problema es equivalente al análisis lógico de nuestra intuición del espacio.

La siguiente investigación es un nuevo intento en la elección para la geometría de un conjunto simple y completo de axiomas independientes y para deducir de estos sus teoremas más importantes, y de esa manera de hallar lo más claramente posible el significado de los diferentes grupos de axiomas y el alcance de las conclusiones derivadas de los axiomas individuales.

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